Basic Rules:
1.) A(A+B)+B(B+C)+C(C+A)
⇒A⋅A+A⋅B+B⋅B+B⋅C+C⋅C+C⋅A⇒A+AB+B+BC+C+CA {∵A⋅A=A}
⇒A(1+B)+B(1+C)+C(1+A)⇒A+B+C {∵ 1+A=1}
2.) (A+Bˉ)(B+C)+(A+B)(C+Aˉ)
⇒AB+AC+BˉB+BˉC+AC+AAˉ+BC+BAˉ⇒AB+AC+BC+BˉC+BˉA {∵ AAˉ=BBˉ=0 }
⇒B(A+Aˉ)+AC+C(B+Bˉ)⇒B⋅1+AC+C⋅1⇒B+C(1+A)⇒B+C
3.) (A+B)(AC+ACˉ)+AB+B
⟹(A+B)⋅A(C+Cˉ)+B(1+A)⟹A(A+B)+B⟹A⋅A+AB+B⟹A+AB+B⟹A(1+B)+B⟹A+B
4.) Aˉ(A+B)+(B+A)(A+Bˉ)
⟹Aˉ⋅A+Aˉ⋅B+BA+BˉB+AA+ABˉ⟹0+AˉB+BA+0+AA+ABˉ {∵ Aˉ⋅A=0 & A⋅A=A}
⟹A+BA+AˉB+ABˉ⟹A(1+B)+AˉB+ABˉ (∵ 1+B=1)⟹A+AˉB+ABˉ⟹A(1+B)+AˉB+ABˉ⟹(AA+AB)+AˉB+ABˉ⟹AA+AB+AAˉ+AˉB+ABˉ⟹(A+Aˉ)(A+B)+ABˉ⟹1⋅(A+B)+ABˉ⟹A+B+ABˉ⟹A(1+Bˉ)+B⟹A+B