solve the recurrence relation Pn = Pn-1 + n with initial condition P1 = 2 using interation.

$P(n)=P(n-1)+n$

$P(n-1)=P(n-2)+n-1$

$P(n)=P(n-1)+n=P(n-2)+n-1+n$

$P(n)=P(n-2)+2n-(0+1)$

$P(n-2)=P(n-3)+n-2$

$P(n)=P(n-1)+n=P(n-2)+2n-1$

$=P(n-3)+3n-3$

$P(n)=P(n-3)+3n-(0+1+2)$

$P(n-3)=P(n-4)+n-3$

$P(n)=P(n-1)+n=P(n-2)+2n-1$

$=P(n-3)+3n-3=P(n-4)+4n-6$

$P(n)=P(n-4)+4n-(0+1+2+3)$

$...$

$P(n)=P(n-k)+kn-\displaystyle\sum_{i=0}^{k-1}i, \ k=1,2,..., n-1$

$P(1)=P(n-(n-1))$

Then

$P(n)=P(1)+(n-1)n-\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}i, n=2, 3, ...$

$\displaystyle\sum_{i=0}^{n-2}i,=\dfrac{(n-2)(n-2+1)}{2}$

$=\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}, n=2, 3, ...$

$P(n)=2+(n-1)n-\dfrac{(n-2)(n-1)}{2}$

$=2+\dfrac{(n-1)(2n-n+2)}{2}=2+\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}$

$=2+\dfrac{(n-1)(n+2)}{2}, n\geq2$

$P(n)=2+\dfrac{(n-1)(n+2)}{2},n\geq1$